виде

Т.к. первый игрок стремится получить максимальный выигрыш, то он должен стремится обеспечить минимум величине1/V. Имеем задачу ЛП:

(13)

j=1,n (14)

>0, j=1,n (15)

Рассуждая аналогично в отношении второго игрока, можно составить задачу, двойственную по отношению к (2.13)-(2.15)

(16)

i=1,n (17)

>=0, j=1,n (18)

Используя решение пары двойственных задач, получаем выражение для определения стратегий и цены игры

V=1/=1/ (19)

=V* , i=1,m, , j=1,n (20)

Применим теорию игр для оптимизации депозитного портфеля Альфа-Банка по валютам. Банк привлекает депозиты в следующих валютах: российские рубли, американские доллары, евро и другие валюты. Доходность от привлечения средств в различных валютах и дальнейшего их размещения различна и зависит от финансового положения рынка. Прогнозные показатели для различных видов депозитов и состояний финансового рынка представлены в матрице А.

14 12,3 13 12

А = 13 14,2 15 14

14 11 11 15

Необходимо определить, в каких соотношениях требуется привлекать депозиты, чтобы гарантированный доход при любом состоянии финансового рынка был бы максимальным.

Имеем игру размером 3*4. Нижняя и верхняя цена игры соответственно

=max (12;13;11)=13,

=min (14;14,2;15;15)=14.

Значит эта игра без седловой точки 13<v<14 и решение нужно искать в смешанных стратегиях.

Так как Альфа-Банк стремится получить максимальный выигрыш, то он должен стремится обеспечить минимум величине1/V. Составим задачу линейного программирования:

F= у1+у2+у3+у4 min,

14у1+12,3у2+13у3+12у4 ³ 1

13y1+14.2y2+15y3+14y4³ 1

14y1+11y2+11y3+15y4³1

y1, y2, y3, y4 ³ 0

Найдем решение данной задачи используя надстройку «Поиск решения» в Excel. Решив задачу получаем следующие результаты:

у = (0,0488; 0,0128; 0,0116; 0,0005)

Значит цена игры равна:

V==1/= 1/(0,0488 + 0,0128 + 0,0116 + 0,0005) = 13,532

Оптимальные стратегии игроков пересчитываются по выражениям

U1= V * y1 = 13.552 * 0.0488 = 0.6608

U2= V * y2 = 13.522 * 0.0128 = 0.1741

U3= V * y3 = 13.522 * 0.0116 = 0.1582

U4= V * y4 = 13.522 * 0.0005 = 0.0067

По результатам, можно сделать вывод, что для Альфа-Банка оптимальной будет следующая стратегия: привлекать рублевые депозиты в размере 66,08% от всех депозитов; депозиты в американских долларах – 17,41%; депозиты в евро – 15,82%; в иных валютах – 0,67%. Именно такое соотношение депозитов в различных валютах гарантирует получение максимальной прибыли при различных состояниях финансового рынка.